От графика к формуле

Очень часто в технической литературе функциональные зависимости даютс не формулами, а графиками. На рис. 4.1 в качестве примера представлю один из таких графиков, отражающий влияние скорости воды и ее температуры на удельное гидравлическое сопротивление в фильтре, через который воду прокачивают. P>

Рисунок взят из технической документации одной известной фирмы, поставляющей водоочистное оборудование'.

Рис. 4.1. Пример графика из технической литературы

Подобные графики приводятся не только для качественного описания тех или иных явлений (гидравлическое сопротивление растет при увеличении скорости и падает при повышении температуры, если говорить о рис. 4.1), но и для их количественной оценки — для расчетов. В упомянутой фирменной документации описан расчет этого гидравлического сопротивления по методике "вождения пальцем по графику": отложите по оси абсцисс значение скорости (первый аргумент), мысленно проведите недостающую кривую (изотерму — второй аргумент) и считайте ответ (значение функции двух аргументов) на оси ординат.

В технической литературе (особенно в справочной) встречаются также и разного рода номограммы с инструкциями такого рода: отложите значение первого аргумента на левой шкале, а второго — на правой; соедините точки линейкой и на средней шкале считайте ответ. По адресу http://twt.mpei.ac.ru/ MASAVorksheets/Boiler/Th_C_B_Nom_2.mcd хранится образец такой номограммы, моделирующей функцию уже трех аргументов (рис. 4.2 с "живой" данной диаграммой; "живой" в том смысле, что изменение в полях ввода скажется на номограмме после нажатия кнопки Recalculate (Пересчитать)).

Рис. 4.2. Пример "живой" номограммы в Интернете

В номограммах (а на них выросло целое поколение инженеров) "тонет" физика задачи— ее качественная оценка, зато повышается точность таких "графических" расчетов. Выпускались даже нехитрые механические устройства типа логарифмической линейки с вшитыми в них алгоритмами расчетов. Такие устройства были особо популярны у штурманов, прокладывающих маршруты морских и воздушных судов до наступления эры бортовых компьютеров и глобальных систем позиционирования. Сейчас что-то подобное можно купить в газетных киосках— совместил на двух дисках свой вес и рост и узнал, пора ли переходить на диету...

Но для современных расчетов с использованием компьютеров или просто калькуляторов более подходят не графики и номограммы, а формулы, которые часто не приводятся в технической литературе по следующим причинам.

Во-первых, формулы не даются из благих намерений освободить читателя от расчетов. Тем более это зачастую и не расчет в привычном понимании этого слова, а некая оценка, прикидка того или иного параметра. В той же документации, откуда взят рис. 4.1, рекомендовано при выборе насоса для фильтра (а его напор — это произведение удельного гидравлического сопротивления на высоту фильтрующего материала) увеличить расчетное гидравлическое сопротивление на 10—20% (так называемый инженерный запас, нивелирующий помимо прочего и ошибки считывания "пальцем" чисел с графика).

Во-вторых, нередко никакой формулы не было и нет, т. к. на графиках даны результаты некой графической обработки опытных точек. Кривые, показанные на рис. 4.1, получены после испытания фильтрующего материала на специальном стенде, где есть возможность менять скорость потока, а так же температуру воды и замерять перепады давления. В научной же (не технической) литературе считается хорошим тоном оставлять на графике экспериментальные точки и показывать различного рода доверительные интервалы. В последнее время получает распространение практика ссылок из научных статей на сайт, где хранятся первичные протоколы опытов, по которым читатель (оппонент) может не только проверить выводы автора, но и дать свою трактовку результатов. Можно идти дальше и делать ссылки на программу с расчетом по этому графику. На бумаге (в технической документации — см. рис. 4.1) видна качественная картина явления, а на сайте, поддерживающем эту документацию, прописан соответствующий расчет. Для этого можно:

- попытаться связаться с автором и попросить его дать формулу, если она, конечно,есть;

- вывести самому нужную формулу, опираясь на "физику" задачи;

Примечание

В нашем случае сопротивление может зависеть от скорости в степени близкой к квадратной.

- провести интерполяцию сплайнами или аппроксимацию по заданной формуле, например, т. е. сделать то, о чем пойдет речь в данной главе.

В среде Mathcad есть встроенные функции ispline, psliine и cspline для сплайн-интерполяции табличных зависимостей функций одного или двух аргументов.

Примечание

Перечисленные функции возвращают коэффициенты интерполяционного полинома. Сама же интерполяция ведется через универсальную функцию interp (см. рис. 4.3).

Но работа с этими функциями при двух аргументах (наша задача, зафиксированная на рис. 4.1) затруднена из-за того, что эти функции требуют "квадратных" исходных табличных данных, где чисто точек по первому аргументу равно числу точек по второму аргументу. Реальные же данные на графиках, как правило, ложатся в прямоугольную (далеко не квадратную) таблицу. Из-за этого приходится либо искусственно "оквадрачивать" исходные табличные данные, убирая из матрицы некоторые строки или столбцы, что влечет за собой потерю точности (прямоугольник сводится к квадрату по наименьшей стороне), либо менять одну двухмерную интерполяцию на две одномерные.

На рис. 4.3 показан универсальный Mathcad-документ автоматизации работы с семейством кривых.

ПРИМЕЧАНИЕ

Чтобы данная функция была универсальной и по внешнему виду, ей стоит дать имя f (х, у), не привязывая имена аргументов и функции к конкретной задаче со скоростью, температурой и удельным перепадом давления, как в нашем случае.

Его универсальность в том, что в матрице исходных данных можно произвольно менять значения элементов, а также число строк и столбцов. Левая "девятка"2 матрицы (элемент с индексом 0, 03) хранит названия боковика и шапки таблицы.

Рис. 4.3. Программа трехмерной сплайн-интерполяции