От графика к формуле

Плюсы и минусы методов интерполяции и аппроксимации можно оценит! при сравнении рис. 4.6 и рис. 4.7, 4.8, на которых через те же точки проведе на не аппроксимирующая, а интерполирующая кривая: на рис. 4.7 со сплайн-интерполяцией, а на рис. 4.8 — с линейной интерполяцией.

Рис. 4.7. 20-интерполяция сплайном

Вот какие можно отметить достоинства интерполяции (недостатки аппроксимации).

Достоинство интерполяции — не нужно задавать вид функции, которая будет описывать табличные значения. Есть такие специальные программы для компьютеров, которым достаточно сообщить только массивы исходных данных, а они (эти программы) сами переберут множество функциональных зависимостей разного вида (степенная, логарифмическая и т. д., а т же их комбинации) и сообщат пользователю, что введенные данные лу всего описываются (сглаживаются) такой-то функцией. Критерием "лучше всего" тут может выступать минимум среднего квадратичного отклонения точек от кривой (поверхности и т. д.). Такую программу можно создать и в среде Mathcad. Но стоит ли?! Здесь главное не потерять чувство меры. Дело в том, что минимальное отклонение — это нулевое отклонение, т. е. случай, когда линия (поверхность и др.) проходит строго через точки, иными словами, когда интерполяция совпадает с аппроксимацией. Здесь можно отметить два "крайних" сглаживающих случая. Первый — это линейная интерполяция (см. рис. 4.8).

Рис. 4.8. 2D линейная интерполяция

Линейную интерполяцию сглаживающей назвать никак нельзя, тем не менее она широко используется для обработки табличных данных. Основнойее недостаток — это "рваная", ступенчатая производная от такой ломаной функции.

Другой крайний случай— проведение через п точек полинома n-1 степени (см. рис. 4.9, где через 12 точек проводится полином 11-й степени).

Рис. 4.9. 2D-сглаживание полиномом предельной степени