Оптимизация габаритов объемных тел 3.1.1. Гремим пожарными ведрами

Примечание

В этой функции, в отличие от предыдущих "ведерных" функций, показанных на рис. 3.1—3.4, значение r принято равным единице, углы отмеряются в градусах, а не в радианах, а сами аргументы a и B отмеряют не углы вырезки, а углы заготовок, из которых сворачиваются конусы-ведра. Это сделано для упрощения задачи при сохранении ее сути.

Из "контурной карты" трехведерной задачи видно7 (рис. 3.5), что в прямоугольной области изменения аргументов от 0 до 360° четко просматриваются один ложный максимум в правом верхнем углу и один реальный минимум (круг посекторно делится на три одинаковые части) в левом нижнем углу графика (α=120°,β=120°)

Основной недостаток трехмерной графики Mathcad заключается в том, что область изменения аргументов должна быть всегда прямоугольной. И мы это уже отмечали в разд. 1.6. Но в нашей "трехведерной" задаче эта область треугольная, т. к. аргументы функции sv связаны ограничением α+β≤360

Примечание

Треугольник— это основа визуализации трехкомпонентных смесей (сплавов): поверхность над таким треугольником отображает какой-либо параметр (плотность сплава, к примеру, или температуру его плавления), а стороны треугольника — это процентное содержание каждого из трех компонентов. Углы треугольника — чистый металл, стороны — двухкомпонент-ный сплав, а нутро треугольника — трехкомпонентный сплав. Очень часто здесь, как в драке, третий оказывается лишним. Так, например, припой для пайки — это сплав свинца с оловом в оптимальном отношении, имеющий минимальную (опять оптимизация) температуру плавления. Добавление в припой какого-нибудь третьего металла (кадмия или висмута, например) только ухудшает этот основной его технологический показатель или, наоборот, улучшает его — делает припой более тугоплавким. По адресу http://twt.mpei.ac.ru/mas/worksheets/3_st_isparenie.mcd на MAS выложен расчет из области энергетики, также "укладывающейся" в треугольную диаграмму, но с оптимумом внутри, а не на краях треугольника.

На рис. 3.6 график функции строится так, чтобы ее значения, выходящие за рамки треугольника, приравнивались к нулю (метод штрафных санкций), а сами координаты точек преобразовывались из прямоугольных в треугольные координаты, с углом . В этом преобразовании функцияпе реопределялась, что вызвало необходимость испольхования системного индекса [doc]

Рис. 3.6. Топография трехведерной задачи в треугольной диаграмме

Из рис. 3.6 видно, что наша функцияимеет шесть максимумов на границах своего существования— на краях треугольника. Отсюда вывод третье ведро лишнее. На рис. 3.7 эта "визуальная" догадка подтверждается и численно.

Рис. 3.7. Численное решение трехведерной задачи

При численном решении трехведерной задачи (рис. 3.7) функция Maximize дополняется ключевым словом Given, за которым записываются ограничения при решении оптимизационных задач. Ограничения, как правило, вводятся в задачу поэтапно. Сначала делается попытка решения задачи без ограничений (см., например, рис. 3.4, где функция Maximize успешно работала без ключевого слова Given), а потом, если решение срывается или оно неверное, вводятся ограничения, но опять же не все сразу, а по одному, каждое из которых как бы отсекает функции Maximize путь к неверному решению (обкладывание функции флажками как волка в лесу). Дело в том, что одновременный ввод в задачу всех ограничений (а часто они дублируют друг друга) может срывать решение задачи, как и в случае полного отсутствия ограничений. Нюанс здесь в том, что численная математика Mathcad базируется на градиентных методах решения задач (о них мы еще поговорим в конце этой главы), которые не любят "острых углов" — обрывов в функциях, создаваемых этими самыми ограничениями.

На рис. 3.7, как, впрочем, и в решении, показанном на рис. 3.4, задействован вектор, а не скаляр первых приближений к решению, что позволило нам, дав первые приближения вблизи предполагаемых шести максимумов (см. рис. 3.6), получить эти самые шесть искомых максимумов.