Оптимизация габаритов объемных тел 3.1.1. Гремим пожарными ведрами

Для поиска максимума объема ведра используется не функция MinErr, a функция Maximize, введенная в Mathcad начиная с 8-й версии для численного решения оптимизационных задач. Основное преимущество функции Maximize, перед функцией MinErr в том, что функция Maximize (как и ее "напарница" функция Minimize) не требует примерного знания максимального

(минимального) значения анализируемой функции, у которой ищут экстремум. С другой стороны, функция MinErr тоже имеет преимущества. Главная из них описана пословицей "Старый конь борозды не испортит!". "Старость" функции MinErr определяет ее надежность. Очень часто можно видеть ситуацию, когда функции Minimaze И Maximize дают сбой, а функция MinErr спасает положение. В качестве первого приближения в решении, показанном на рис. 3.4, взят не скаляр, а вектор— два значения угла вырезки вблизи максимумов, определенных визуально (2 и 4.5 радиан). В такой ситуации функция Minimize вернула нам также два уточненных значения, симметрично расположенных по отношению к значению π.

Примечание

Последнее, в принципе, еще нужно доказать. У нас получилось, что α0+α1=2π, но это примерно равно, т. к. использовались численные (приближенные), а не аналитические методы решения задачи.

Пожарное ведро делается в виде конуса для того, чтобы его нельзя было поставить на пол, а потом использовать не по прямому назначению (для стирки, например) — такое ведро свалится на бок6. Решение задачи о двух пожарных ведрах также "валится на бок"— на "левый" (а<180) или на "правый" (а>180). Такую же форму (конус без ножки) имеет бокал "Пей до дна!".

Не выбросив меньший сектор и сделав из него второе пожарное ведро, мы мало что выиграли — второе ведро дало небольшую прибавку в объеме. Раскрой заготовки для двух ведер не по диаметру (а=180), а хитрым способом, дал совсем ничтожный выигрыш по суммарному объему ведер. Но нам важен не результат, а сам процесс расчета: "Цель ничто, движение — все!"

Попробуем еще немного "погреметь пожарными ведрами" и зададимся новым вопросом. Что если круглую заготовку посекторно раскроить для изготовления не одного (см. рис. 3.1—3.3) и не двух (см. рис. 3.4), а трех ведер? Сможем ли мы еще что-то "выжать" из задачи? Можно ли так раскроить круглую заготовку на три сектора и свернуть из них три конуса, чтобы превысить "двухведерный" рекорд, зафиксированный на рис. 3.4?! Новая, "трехведерная" задача сводится к поиску максимума функции уже не одного, а двух аргументов: (угол заготовки для первого ведра) и (для второго). Третьему ведру "перепадут остатки":

Решение "трехведерной" задачи, как и "одноведерной" (см. рис. 3.1) или "двухведерной" (см. рис. 3.4), можно и нужно начать с графического анализа. На рис. 3.5 построены линии уровня (график Counter Plot) функции

Рис. 3.5. Топография трехведерной задачи в прямоугольной диаграмме