Дифференциальные уравнения

Mathcad будет "в динамике", по ходу самого численного интегрирования, сам решать, какой метод применить — для решения нежестких (Adams) или жестких (BDF) уравнений. Методы Adams, BDF (backward differentiation formula) и Adams/BDF (комбинация этих методов) оформлены также и в виде новых встроенных функций, что, в частности, позволяет встраивать их в Mathcad-программы (см. далее).

На рис. 2.22 читатель может увидеть подобное меню настройки, но для функции Find. Такое же меню можно вызвать у функций MinErr, Minimize и

Maximize.

Теперь несколько усложним нашу задачу об эпидемии. Если известно начальное количество больных (n=50 — см. рис. 5.1, 5.2 и 5.7), то это значит, что их сразу пересчитали. А если это так, то их знают поименно. Но в этом случае больные должны быть изолированы, и никакой эпидемии не будет вообще (пр=о). В реальной задаче мы можем знать число жителей в городе (количество здоровых на день начала эпидемии) и число больных в какой-то последующий день, когда становится ясно, что разразилась эпидемия. Другими словами, нам что-то известно о параметрах на краях отрезка, охватывающего некий динамический процесс.

На рис. 5.9 реализован метод последовательных приближений для решения по разностной схеме, отображенной на рис. 5.1, такой краевой задачи (а не задачи Коши): в начале эпидемии в городе 20 000 здоровых жителей, а в конце эпидемии— 100 больных. Спрашивается, сколько больных было в начале эпидемии?

Ответ (51 больной) получен за семь приближений: задается начальное число больных, которое корректируется в зависимости от того, какое число больных оказывается в конце эпидемии. На рис. 5.9 можно, конечно, не дублировать Mathcad-операторы, а просто вручную подправлять первое (предыдущие) приближение.

С помощью функции rkf ixed, решающей задачу Коши, краевую задачу можно также решить последовательными приближениями (рис. 5.10).

Нижняя кривая на рис. 5.7 похожа на траекторию полета снаряда, поэтому метод последовательных приближений, приложенный к краевой задаче, называют также методом стрельбы: можно менять искомые начальные условия, последовательно приближаясь к решению, имея на другом конце отрезка "корректировщика огня", в лексиконе которого три слова: "перелет", "недолет" и "попал" ("почти попал", учитывая заданную точность расчета — см. комментарии на рис. 5.9).

Рис. 5.9. Решение краевой задачи об эпидемии разностной схемой

По правде говоря, метод стрельбы берет свое название не от вида кривой, а от особенностей решения краевой задачи применительно к дифференциальному уравнению второго порядка, когда приходится менять "угол наклона ствола пушки" — значение первой производной в начале отрезка интегрирования. В нашей задаче об эпидемии (система двух обыкновенных дифференциальных уравнений) для попадания в цель приходится менять не "угол наклона пушки", а ее "подъем" над землей— число больных в начале эпидемии. Тут, как правило, используют метод половинного деления, когда отрезок "перелет-недолет" делят пополам.

Рис. 5.10. Решение краевой задачи об эпидемии функцией rkf ixed

Метод стрельбы заложен и во встроенную в Mathcad функцию sbval, работа которой показана на рис. 5.11. Она требует начального приближения и соблюдения некоторых условностей, связанных с нашими знаниями состояний решаемой системы на концах отрезка интегрирования. Функция sbval не совсем обычная. Мы привыкли к тому, что, например, операторы A:=sin(X) и A:=sin(30) идентичны, если переменная х имеет значение зо, несмотря на то, что в первом случае у функции sin в качестве аргумента выступает переменная, а во втором — константа. Функция же sbval в этом отношении аномальна. Она возвращает значение в зависимости не только от конкретных значений аргументов, но и от того, введены они в виде переменных (х0) или в виде констант (20 ооо). Из-за этого даже специалистам по дифференциальным уравнениям часто приходится ломать голову, чтобы сообразить, как можно условия краевой задачи "запихнуть" в функцию sbval. Здесь фирма Mathsoft несколько отошла от первоначальной идеологии пакета Mathcad, подразумевавшей, что запись условия задачи на экране дисплея должна выглядеть естественно.

Рис. 5.11. Решение краевой задачи об эпидемии функцией sbval