Дифференциальные уравнения

Рис. 5.7. Задача об эпидемии — решение системы дифференциальных уравнений c помощью функции ode solve

Примечание

В Mathcad 2000 вместе с функцией odesoive появился оператор взятия производной в виде апострофа — у' (х), который вводится в расчет нажатием комбинации клавиш <Ctrl>+<F7> и действует только между ключевым словом Given и функцией odesoive. Вне этих рамок данный апостроф превращается в простой комментарий.

Функция odesoive уникальна в том, что она возвращает не скалярное или векторное значение, как другие встроенные функции Mathcad (sin, cos и т. д.), а новую функцию, у которой можно искать нули (см. главу 2), максимумы и минимумы (см. главу 3) и осуществлять иные действия, допустимые к функциям. Все другие встроенные функции Mathcad12, предназначенные для решения дифференциальных уравнений (rkfixed и др.), возвращают таблицу значений, по которым нужно формировать функцию, интерполяцией или сглаживанием (см. главу 4). Но функция, генерируемая функцией odesoive, честно говоря, не совсем нормальная — к ней нельзя, например, применить операторы и команды символьных преобразований и некоторые другие операции. Это связано с тем, что функция, генерируемая функцией odesoive, создается той же интерполяцией по точкам.

Удобство функции odesoive в том, что она воссоздает естественную запись системы дифференциальных уравнений по схеме, которая в среде Mathcad уже давно используется для решения уравнений: Given (дано), сами уравнения и функция, возвращающая решение задачи. Роднит функции Find

(MinErr, Minimize, Maximize) и odesoive и то, что правая кнопка МЫШИ вызывает локальное меню, в котором есть команды выбора алгоритма решения (рис. 5.8).

Рис. 5.8. Подстройка функции odesoive

На рис. 5.8 показано, что пользователь или сама система Mathcad может выбрать один из трех алгоритмов решения задачи через функцию odesoive: Fixed— с фиксированным шагом интегрирования, Adaptive— с переменным шагом и Stiff— решение "жесткой" системы'3 (Mathcad 11/12/13). В Mathcad 14 внесены изменения и добавления в инструменты решения обыкновенных дифференциальных уравнений. Во-первых, введена новая функция statespace (наряду с новыми функциями Бесселя (Dai, DBi, DAT • sc, Jacob и DBi.sc) и другими функциями), позволяющая решать ОДУ, записанные в матричной форме. Во-вторых, "старая" функция Radau получила три новых дополнительных аргумента, позволяющих влиять на точность и скорость ее работы. Кроме того, несколько изменен список алгоритмов, применяющихся при реализации функции odesoive (см. рис. 5.8). Теперь, например, при ориентации решения систем ОДУ по алгоритму Adams/BDF пакет