От графика к формуле

Возвращаясь к проблеме "как по точкам найти функцию", т. е. к вопросу, который очень часто задают на форумах Mathcad, следует выделить два случая.

Человек, обрабатывающий на компьютере табличную зависимость и переводящий дискретную функцию в разряд непрерывной, примерно представляет себе, какие физические законы в эту функцию заложены. Возвращаясь к нашему первому примеру с восстановлением функциональной зависимости перепада давления от температуры и скорости потока (см.

рис. 4.1 и 4.3), можно утверждать, что перепад зависит от скорости по степенной зависимости а • х^b, т. е. задача сглаживания сводится к нахождению этих коэффициентов, второй из которых (b) близок к двойке (значение для первого приближения, если оно потребуется для решения задачи).

Если же человек не имеет ни малейшего понятия о виде искомой функции (см. на рис. 4.18—4.20 задачу о стоимости подержанного автомобиля), то можно идти по пути сплайн-интерполяции (особенно в случае работы с точками не таблицы, а графика), сглаживанием полиномом "разумной" степени или "разумной" функцией иного вида.

На рис. 4.11 и 4.12 показаны страницы Интернета с адресами http://twt.mpei.ac.ru/mas/worksheets/Fit_5_form.mcd (рис. 4.11) и

http://twt.mpei.ac.ru/mas/worksheets/Fit_f_x_a_b_c.mcd (рис. 4.12).

На рис. 4.11 отображена интернет-страница в режиме on-line с аппроксимацией точек (они вводятся в два текстовых поля: X и Y) по пяти функциям разного вида, которые поддерживаются в среде Mathcad встроенными функциями с корнем fit (от англ. fitting— сглаживание: expfit, lgsfit, logfit, pwrfit и sinfit). Работа этих функций требует первого приближения (см. текстовые поля a, b и с на рис. 4.11). Требует первого приближения и универсальная функция genfit (general fitting), работающая с любой аппроксимирующей функцией. Кроме того, она требует ввода и частных производных сглаживающей функции по искомым коэффициентам. Другие подобные функции (linfit, lnfit, medfit, line, loess, slope И intercept) не требуют первого приближения. Пример вызова функции expfit (одной из пяти отмеченных) показан на рис. 4.19, где оценивалась стоимость подержанного автомобиля в зависимости от его пробега.

На рис. 4.12 аппроксимирующая функция не выбирается из заданных, а вводится в отдельное текстовое поле.

Недостатки интерполяции (достоинства аппроксимации) таковы. Первый недостаток— промах по единственной точке (неверные исходные данные или ошибка при их ручном вводе) сразу сильно искажает результат. Также сильно искажает результат преднамеренный или невольный выход за рамки интервала интерполяции (второй недостаток); при аппроксимации искажение будет не таким сильным, что дает основание считать аппроксимацию в какой-то мере и экстраполирующим решением.

Рис. 4.12. Сглаживание табличной зависимости по произвольной формуле в Интернете

Из интерполяции трудно вычленить вид искомой функции для ее использования, например, в другой программной среде, чего не скажешь про аппроксимацию. Покажем это на примере задачи трехмерной статистической обработки данных — см. на рис. 4.13—4.16. Решалась реальная инженерная задача по "оживлению" одной из характеристик работы паровой турбины.

На рис. 4.13 показан "бумажный" график некоего параметра паровой турбины, с которым приходилось работать по технологии "вождения пальцем по графику". Читатель может не вдаваться в саму технологию (пар, турбина, энтальпия), а просто вычленить для себя суть задачи — имеется застывшая на бумаге9 функция двух аргументов (семейство кривых), которую необходимо "оживить" методами, описанными в данной главе так, чтобы можно было вводить значения двух аргументов, получать рассчитанное значение функции и заодно видеть этот "расчет" на графике.

Рис. 4.13. "Сырой" график

На рис. 4.14 показано решение этой задачи.

Рис. 4.14. Статистическая обработка "сырого" графика

Основная проблема в решении задачи сводится к заполнению матрицы Data, хранящей параметры точек на графике. Эти значения можно брать непосредственно из графика, используя обычную ("деревянную") или виртуальную линейку, если график отсканирован и его можно отобразить на дисплее компьютера. Тут лучше взять сами исходные данные, по которым строились точки, но они, как правило, очень часто бывают недоступными — график построили, а точки просто-напросто выкинули. На рис. 4.14 читатель видит, что некоторые элементы матрицы Data остались незаполненными, но это "обман зрения". В среде Mathcad такие (разреженные) матрицы недопустимы, и мы уже об этом говорили (см. рис. 1.53)— на этих пустых местах записаны нули, цвет шрифта которых был изменен с черного на белый (см. разд. 1.2.3).

Рис. 4.15. Линия проходит через точки