От графика к формуле

Программно создается функция пользователя с именем(удельный перепад давления) и с двумя аргументами: t — температура и v — скорость потока.

Функциясодержит в матрице м опорные точки интерполяции (результаты обмера графика на бумаге обычной деревянной, а лучше — прозрачной пластиковой линейкой или обмера отсканированного или "выуженного" из Интернета графика на экране дисплея "штангенциркулем" какого-либо графического редактора ) с боковиком (первый аргумент функции — температура) и "шапкой" (второй аргумент— скорость, см. комментарий— текстовую константу в уже упомянутой левой "девятке"). Еще одна особенность функции — возможность ее работы с размерными величинами (см. разд. 1.4), что позволяет вводить данные с любыми единицами скорости и в любых температурных шкалах и иметь ответ также в разных единицах.

Примечание

Исходный график, показанный на рис. 4.1, в английском варианте единиц измерения, кстати, имел ошибку — скорость потока за океаном измеряется не в gpm/ft3, а в gpm/ft2 (галлон в минуту через квадратный фут). Ввод в расчет единиц измерения позволяет выявлять подобные ошибки — бумага все стерпит, но Mathcad — нет.

Данная функция позволяет не только вести интерполяцию, но и восстанавливать исходное "семейство кривых" с графической интерпретацией самого процесса интерполяции: по значению первого аргумента уже автоматически, а не мысленно строится промежуточная кривая (у нас это изотерма, проведенная пунктиром), а по значению второго— считывается и выводится с разными единицами измерения искомое значение на оси у. Тут сам график может показаться лишним. Но его оставляют в расчете для отображения некой динамики процесса и для контроля исходных данных.

На рис. 4.3 показано, как двухмерная задача сводится к одномерной генерацией вспомогательного вектора р ', хранящего значения перепада давления в промежуточных точках, которые были получены одномерной сплайнинтерполяцией (оператор). Окончательный результат получен при

новой сплайн-интерполяции уже по второму аргументу— по температуре (последний оператор программы).

Если при штатной двухмерной сплайн-интерполяции, как уже отмечалось, табличные значения будущей функции нужно держать в квадратной матрице, а соответствующие им значения двух аргументов— в матрице с двумя столбцами и с числом строк, равным порядку матрицы значений функции, то в нашей задаче на рис. 4.3 все эти значения хранятся в одной матрице М. Это существенно упрощает ее редактирование или просто обзор. Матрица М встроенной функцией submatrix раскладывается на векторы-аргументы т и v и на матрицу-функцию

Наш подход к снижению порядка задачи, показанный на рис. 4.3, можно применить для решения уже четырехмерной задачи — генерации с помощью сплайн-интерполяции функции трех аргументов (рис. 4.4).

Для хранения исходных табличных данных четырехмерной задачи5 нужна уже не плоская, а объемная матрица со строками, столбцами и слоями. В языках программирования такая конструкция есть (трехмерный массив: A(i, j, k)—BASIC, A[i, j, k]^6 — Pascal и С), но в Mathcad—нет. Один из выходов — использование составного массива, т. е. массива (в нашем случае матрицы), элементы которого — новые массивы (матрицы). На рис. 4.4 "трехмерная" таблица исходных значений для интерполяции занесена в составной массив M, где первый столбец хранит три вектора, элементы которых — значения аргумента х с комментариями, а второй — значения аргументов у и z, а также значения самой функции по структуре, уже описанной нами на рис. 4.3 ("девятка", шапка, боковых и пр.). Далее— дело техники: средствами программирования создается функция f(M, x, у, z), где наша трехмерная задача сначала сводится к двухмерной, а затем к одномерной7.

Рис. 4.4. Программа четырехмерной сплайн-интерполяции