От графика к формуле

При решении задач интерполяции, т. е. нахождения нового значения внутри заданного диапазона, важно не перейти к новой задаче — к задаче экстраполяции, для решения которой в Mathcad есть специальные инструменты — см. сайт http://twt.mpei.ac.ru/mas/worksheets/predict.mcd с примером работы функции predict (предсказание).

Поэтому на рис. 4.5 показано, как в отображенную на рис. 4.4 программу внесены "контрольно-пропускные пункты" (КПП), отсекающие неверно заданные значения аргументов х, у, и z с выдачей пользовательского сообщения об ошибках, или текстового результата вместо числового (см. последнюю строку на рис. 4.5).

Это сделано (ввод КПП для "защиты от дурака"), как уже отмечено, для того чтобы пользователь программы интерполяции не стал ненароком решать с ее помощью задачи экстраполяции. С другой стороны, эти КПП могут мешать реализации обратной задачи, когда по известному значению функции необходимо найти значение аргумента. Такая задача решается с помощью встроенной функции root (см. главу 2) итерациями, некоторые из которых могут и должны выходить за установленные интервалы изменения значений аргументов, не искажая при этом конечный результат.

Интерполяция (проведение линии, поверхности и др.) строго по точкам имеет свои плюсы и минусы по сравнению с аппроксимацией— проведением линий, поверхностей и др. вблизи точек так, чтобы эти линии и поверхности отвечали определенному критерию. Обычно в качестве такого критерия выбирают минимум суммы квадратов отклонений точек от кривой по оси у — метод наименьших квадратов. В этом смысле задача аппроксимации является типичной оптимизационной задачей, особенности решения которой были рассмотрены в главе 3. В принципе для решения аппроксимационных задач достаточно иметь под рукой только функции Minimize и MinErr, приспособив их для расчета коэффициентов аппроксимирующей (сглаживающей) функции. Этот метод будет использован при решении задачи о стоимости подержанного автомобиля (см. рис. 4.20).

В Mathcad встроено достаточно много специализированных функций для решения аппроксимационных задач — задач регрессионного анализа, как их еще называют (см. начало разд. 4.2). Главная такая функция так и называется regress. Она возвращает коэффициенты полинома степени п (третий аргумент функции regress, первые два аргумента — это, как и в случае с функциями интерполяции, два массива исходных данных) в задачах двух- и трехмерной аппроксимации.

Рис. 4.5. Программа четырехмерной сплайн-интерполяции с КПП

Работа функции regress в паре с универсальной функцией interp при решении задачи двухмерной аппроксимации показана на рис. 4.6.

Рис. 4.6. 20-сглаживание полиномом

Примечание

На рис. 4.6 искомая (рабочая) точка на графике фиксируется не маркерами (см. пунктирное перекрестие на рис. 4.3), а с помощью вспомогательных векторов vx и vy, "рисующих" изломанную стрелку на графике. Пар маркеров на графике всего может быть две, а стрелок— больше. Кроме того, стрелка четко показывает, где аргумент, а где функция.