Еще одна "эпидемия"

В городе, где строится пирамида, миллион жителей (переменная n), среди которых царит некий ажиотаж, подогреваемый вышеприведенной таблицей курсов. Языком математики его можно описать формулой, связывающей число проданных населению акций в конкретный день (nk) с общим числом проданных акций (сумма nk за предыдущие дни — snk) и условным количеством жителей, не купивших пока акции (n минус сумма nk за предыдущие дни). Повторяем, развитие финансовой пирамиды во многом напоминает развитие эпидемии, когда число заболевших (купивших акции) в конкретный день пропорционально числу больных в городе (числу проданных акций), перемноженному на число еще не переболевших (не купивших акции). В случае эпидемии коэффициент пропорциональности зависит от мер профилактики. В случае финансовой пирамиды этот коэффициент (мы его условно назовем коэффициентом ажиотажа— ка) зависит от уровня инфляции, рекламы, наличия других параллельных пирамид, от срока, прошедшего с момента шумного краха предыдущей пирамиды, и т. д. Многие экономические явления (кризисы, банкротства) прокатываются волнами. Период пика волн финансовых пирамид составляет, по различным оценкам, от 25 до 30 лет, что связано, во-первых, с приходом к активной жизни свежих, незатронутых пирамидами сил, и, во-вторых, с короткой людской памятью. На таких волнах многих ждет финансовое кораблекрушение. Другие же (а их намного меньше — и в этом фокус пирамид), подобно отважному и ловкому серфингисту, получают "финансовое" удовлетворение.

За волной купивших акции "катит" волна желающих их продать — вернуть свои "кровные" и причитающиеся дивиденды. Здесь мы также до предела упростим модель и будем считать, что волна продающих акции отстает от волны их купивших на число дней, хранящихся в переменной Время:

NРд+1 =0, если Д < Время

NPd+1 = NKD-Время, если D > Время

Волны покупателей и продавцов акций могут иметь разные формы — подчиняться, например, нормальному закону распределения (см. рис. 5.25). Главное здесь — раздвоенность волн: человек сначала покупает акцию (билет) и только потом ее продает.

Ну а теперь можно подсчитывать барыши и кататься на волнах финансовой пирамиды.

Несложно вычислить, сколько денег (вектор м) будет на счету организаторов пирамиды завтра (d+1), если известно, сколько их в наличии сегодня (о), и если известен курс акций и количество покупок и продаж:

Md+1 = MD+NKD*K(D)-NPDP(D)

Люди, покупающие акции, приносят деньги в кассу. Люди, акции сдающие, забирают деньги из кассы. Но есть еще один человек, залезающий в кассу. Это организатор пирамиды, имеющий свой "профит", выражающийся в том, что из кассы ежедневно изымаются Доход наличных денег:

Доход-MD

Естественно, доход изымается, если (if) в кассе есть деньги. В реальной жизни, конечно, касса худеет на значительно большие суммы — налоги, оплата текущих расходов, реклама и т. д. Расход: =300 000.

В 1202 г. Леонардо Пизанский (1180—1240) описал одну из первых моделей развития замкнутой биологической системы, населенной условными кроликами. Если соответствующим образом определить их плодовитость и долголетие, то численность популяции кроликов будет меняться из поколения в поколение по строгому закону (табл. 5.2).

Таблица 5.2. Изменение популяции кроликов

Читатель, конечно, уже догадался, что речь идет о числах Фибоначчи: Леонардо Пизанский более известен под именем Фибоначчи (Fibonacci — сокращение от лат. filius Bonacci— сын Боначчи). В новом поколении кроликов их число будет равно сумме числа кроликов в двух предыдущих поколениях. Со временем про этих условных кроликов забыли, но числа Фибоначчи (1, 1, 2, 5, 8, 13 и т. д.) нашли применение в прикладной математике. Решение этой задачи выложено на сайте автора— http://twt.mpei.ac.ru/ MAS/Worksheets/Fibonacci.mcd.

Последний график на рис. 5.27 отмечает день, когда пирамиду пора разваливать — уходить на "дно", баллотироваться в депутаты или уезжать за границу. Благо денег на это "наварено" предостаточно.

Рис. 5.28. Решение дифференциально-интегрального уравнения

Мы же никуда пока не уезжаем, остаемся у своего компьютера и, собираясь вкладывать деньги в какое-то надежное или сомнительное предприятие, сначала должны просчитать, что из этого может выйти. Так мы легко можем вернуть и приумножить деньги, потраченные на приобретение компьютера и программы Mathcad, а также на операционную систему Windows, под управлением которой Mathcad работает.

Решая задачу об эпидемии, мы перешли от размерностей схемы (см. рис. 5.1) к дифференциальным уравнениям (см. рис. 5.2 и др.). Подобную операцию можно провести и с задачей о финансовой пирамиде. Только тут получится не просто дифференциальное, а дифференциально-интегральное уравнение (рис. 5.28): скорость продажи акций (у' (х) — разность, переходящая в дифференциал) зависит, в том числе, и от общего числа людей, купивших на данный момент акции (сумма, переходящая в интеграл).

Переход от разности (суммы) к дифференциалу (интегралу), как и в случае с задачей об эпидемии, несколько меняет форму кривой, но не ее суть.