Функции двух аргументов

Но деление двоичных функций и операторов на основные (базисные) и вспомогательные появилось задолго до компьютеров и "узаконилось" в виде двоичных алгебр (в скобках отмечен их базис):

• алгебра логики (');

• булева алгебра();

• алгебра Жегалкина ();

• алгебра Пирса ();

• алгебра Шеффера (|).

Две последние двоичные алгебры примечательны тем, что в их базисе всего лишь по одной двоичной функции, опираясь на которую можно построить все остальные.

На рис. 4.25 показан Mathcad-документ, где с опорой на функцию Пирса (еще говорят— стрелка Пирса:), которую мы определили на рис. 4.24, построены другие двоичные функции22: одна двоичная функция одного аргумента (отрицание, инверсия — Not) и пять двоичных функций двух аргументов: And, Or, Imp, штрих Шеффера и Eqv. Последние три функции (imp, штрих Шеффера и Eqv) заданы с использованием ранее определенных функций. Это сделано для большей компактности рисунка, но от механизма ВЛОЖеНИЯ Пользовательских функций (lmp(a,b) :=Or(Not(a) ,b),

например) можно отказаться и оперировать "для чистоты эксперимента" только функцией (штрихом) Пирса. Двоичные функции часто иллюстрируют электрической цепью (см. рис. 4.28): последовательное соединение выключателей — это конъюнкция, а параллельное — дизъюнкция. На рис. 4.25 показан менее тривиальный пример — электрический аналог эквиваленции: схема соединения двух выключателей, так чтобы свет независимо зажигался и выключался из двух мест.

Рис. 4.25. Построение двоичных функций с опорой на функцию Пирса

На алгебру Пирса и алгебру Шеффера возлагались большие надежды в смысле построения компьютера23 из однотипных элементов. Потом от этой идеи отказались по ряду причин, главная из которых в том, что любой компьютер и так состоит только из однотипных элементов — транзисторов, объединенных в интегральные микросхемы (чипы).

Можно отметить недостаточность набора математических инструментов, отображенных в табл. 4.2 и 4.3. (Если объединить два предыдущих пункта наших комментариев, то их можно поместить под одним заглавием "Избыточная недостаточность".) Возьмем, например, самую "популярную" функцию двоичной алгебры — конъюнкцию24. Ее столбец в таблице истинности (а так называют табл. 4.2 и 4.3) по идее должен быть такой, как в табл. 4.4.

Таблица 4.4. Уточненная конъюнкция

Прочерк на месте нуля означает, что если первый аргумент (а) равен нулю, то незачем проверять, чему равен второй аргумент (ь), и наоборот. Так и поступают, строя некоторые языки программирования — С, например. При программировании в среде языка BASIC условный переход по конъюнкции можно записать так:

первый способ:

If a And b Then...

второй способ:

If a Then If b Then. ИЛИ

If b Then If a Then...

Второй способ записи позволяет не только ускорять расчеты, но и избегать некоторых ошибок— логическое выражение b может иметь смысл, если на альтернативный вопрос а дан положительный ответ. Вот типичный пример такой "программистской" ситуации:

If I > 0 Then If V(i) > V(i-l) Then...

Можно сказать, что в языке BASIC есть две конъюнкции: And и Then if.

Если учитывать, что в этом разделе рассматривается не какая-то конкретная алгебра двоичных чисел (булева, Пирса, Шеффера и т. д.), а перечисляются возможные двоичные функции двоичных аргументов, то следует признать, что даже одноместных функций должно быть не четыре (см. табл. 4.2), а... бесконечное множество. Запрограммированная двоичная функция может, например, возвращать единицу с вероятностью 70%, если ее аргумент равен нулю, и с вероятностью 30%, если аргумент равен единице. В остальных случаях она возвращает нуль.

В табл. 4.2 и 4.3 собраны двоичные функции одного и двух аргументов соответственно. Но, возвращаясь к конъюнкции, можно сказать, что эта функция имеет не два, а... полтора аргумента (см. табл. 4.4).

Такую же нецелочисленностъ (вещественность!) или непостоянство числа аргументов можно отметить и по другим двоичным функциям (табл. 4.5—4.8).

Таблица 4.5. Двоичная функция полутора аргументов

Таблица 4.6. Двоичные функции одного (первого) аргумента