Бионика и Mathcad

Бионика — это наука, пограничная между биологией и техникой, решающая инженерные задачи на основе анализа структуры и жизнедеятельности организмов.

Встроенные в Mathcad средства поиска минимумов и максимумов функции используют так называемые градиентные алгоритмы и их модификации. Этс означает, что решение от точки начального приближения как бы с горки скатывается в низину— к точке минимума. След такого "скатывания" можно видеть на рис. 3.27 и 3.28, где была проиллюстрирована работа функции "Двг шага" (Two-step), использующей одну из разновидностей градиентного метода.

Но в инженерном деле, например, при настройке приборов автоматического регулирования, задача сводится к тому, что нужно найти глобальный минимум (самую глубокую "низину"), окруженную локальными минимумами-ловушками. И приноровиться к этим многоэкстремальным функциям, найти точку начального приближения, от которой всегда будешь скатываться в глобальный минимум, нельзя, т. к. эти экстремумы все время мигрируют в зависимости от меняющихся условий (коэффициентов). Остается постоянной (да и то далеко не всегда) область существования этих плавающих экстремумов.

Вот тут на помощь приходит бионика.

Для решения многоэкстремальных задач оптимизации в настоящее время широко применяются различные модификации так называемых генетических алгоритмов. Исследования последних 30 лет показали, что генетические алгоритмы являются лучшими из существующих методов для решения многоэкстремальных задач оптимизации. Сегодня на базе персонального компьютера с помощью генетических алгоритмов решаются задачи многоэкстремальной оптимизации, в которых выбирается наилучшее решение среди 10—10 локальных экстремумов в пространстве поиска 104. Они находят применение в экономических и технических расчетах и являются наиболее приспособленными для синтеза и настройки искусственных ней-росетей различного назначения.

Генетические алгоритмы являются элементарной моделью процесса эволюции популяций особей в природе. Если принять, что каждая особь популяции является точкой в координатном пространстве EN оптимизационной задачи Х{х1, х,..., хN}, а приспособленность особи— соответствующим значением целевой функции F(X1), то популяцию особей можно рассматривать как множество координатных точек в пространстве EN, а процесс эволюции — как движение этих точек (живых особей, муравьев, например) в сторону оптимальных значений целевой функции.

В отличие от алгоритмов, реализующих регулярные поиски, градиентных, например, ведущих поиск оптимального решения от одной начальной точки (начального симплекса), генетические алгоритмы при поиске используют популяцию особей (множество координатных точек) \. Размер популяции является одним из главных факторов, определяющих эффективность генетических алгоритмов. На практике , выбирается от 10 до 500.

Подобно тому, как в природе информация о наследственных признаках организмов представлена в хромосомах в виде линейной последовательности различных комбинаций четырех нуклеотидов, в генетическом алгоритме векторы переменных также записываются в виде цепочек символов, используя двух-, трех- или четырехбитовые символьные маски. Символьной маской является представление десятичного числа в виде цепочки двоичных кодов, состоящих из нулей и единиц. Записанная в виде символьной маски координата является хромосомой, которая обрабатывается так называемыми генетическими операторами: кроссовером, мутацией и инверсией. Генетические операторы являются упрощенной формой передачи наследственности. В природе они обеспечивают процесс эволюции, а в генетических алгоритмах оптимизации — движение координатных точек в направлении оптимальных значений функции цели. Их работа состоит в замене нулей и единиц в разрядах символьной маски. Замена осуществляется на вероятностной основе. После генетической обработки символьные маски декодируются в десятичные числа.

Работа классического генетического алгоритма состоит из следующих этапов:

1. Создание в исследуемом пространстве поиска начальной популяции особей размером, где N— размерность задачи. Исходная популяция обычно создается случайным образом примерно так, как показано на рис. 3.16 и 3.17, если иметь в виду двухаргументную задачу о домиках на дачном участке.

2. Перевод каждого вектора координат из символьного вида в десятичный и расчет целевой функции для каждой координатной точки.

3. Оценка популяции на вырожденность. Вырожденность популяции оценивается по разности максимальногои минимального значений функции цели. При выполнении условия, где— достаточно малое число; популяция вырождается в точку, соответствующую решению задачи. В противном случае выполняется следующий пункт.

4. Упорядочение популяции по приспособленности (по возрастанию значений функции цели).

5. Элиминация или удаление из популяции наименее приспособленных особей, которыми являются точки с наибольшими значениями функции цели. Оставшиеся особи собираются в родительскую группу, которая используется для генерации нового потомства (новых координатных точек).

6. Из родительской группы равновероятно выбираются пары родительских особей, к которым последовательно применяются генетические операторы. В результате генетических операций генерируются в новые потомки (новые координатные точки). Полученные потомки помещаются в исходную популяцию и для них вычисляются значения функции цели.

7. Алгоритм переходит к п. 3 — на новый этап эволюции.