Цена подержанного автомобиля, или Путь от корреляции к регрессии в среде Mathcad

Сначала о терминах заголовка раздела, которые, честно говоря, нужно было описать в самом начале этой главы.

Определение

Корреляция — зависимость, не имеющая явно выраженной закономерности изменения из-за невозможности точно учесть влияния множества одновременно меняющихся факторов.

Определение

Регрессия — зависимость среднего значения какой-либо величины от некоторой другой величины или от нескольких величин.

А теперь — суть проблемы.

Автору в Интернете (http://collab.mathsoft.com/read?8889,34) попалась на глаза вот такая корреляция (см. табл. 4.] — стоимость старого автомобиля в зависимости от его возраста и пробега) и просьба дать идею по нахождению формулы, по которой можно будет сделать оценку стоимости автомобиля, т. е. регрессии.

Примечание

В нашей таблице собраны, естественно, данные по автомобилям одной марки. Кроме того, на стоимость подержанного автомобиля могут влиять и другие факторы: режим хранения (гараж или улица), аварии и ремонты и др., но мы будем учитывать только два основных— возраст и пробег: корреляция на то она и корреляция.

Таблица 4.1. Исходные данные для оценки стоимости автомобиля

Говоря "нормальным" языком интернет-собеседник просил дать формулу или график, по которым можно было бы оценить стоимость старого (подержанного) автомобиля по году его выпуска и показанию спидометра (километраж).

Чутье давнего собирателя компьютерных этюдов (а об этом "чутье" уже упоминалось в разд. 3.6) подсказало автору, что данная задача может быть красиво решена в среде Mathcad.

Как правило, регрессионный анализ (поиск регрессии) начинают с визуализации табличных данных. Мы такой графический анализ задачи совместим с ее решением.

На рис. 4.18 по табличным данным, хранящимся в матрице M, формируются три вектора: Age (возраст) MileAge (пробег) и selling_Price (цена автомобиля), по которым строится гистограмма. Из нее, в частности, видно, что в нашей выборке 6 автомобилей имеют возраст 10.5 лет, но нет автомобилей с возрастом 5.5 лет.

1. Корреляция пробега автомобиля от его возраста (рис. 4.18)— это область, ограниченная двумя лучами: минимальная и максимальная средние скорости автомобилей. В нашей выборке они такие: 1.004 км/ч (машина с возрастом 7.5 лет и 41 000 миль пробега) и 2.046 км/ч (3.5 года и 39 000 миль пробега). Отсюда вывод — если вам предлагают купить подержанный автомобиль, параметры которого не попадают в наш скоростной "клин" (1—2 км/ч), то это значит, что машину либо слишком интенсивно эксплуатировали (скорость больше 2 км/ч), либо она непонятно почему простаивала (скорость меньше 1 км/час), либо у нее... подкручен спидометр. Возраст же машины скрыть намного трудней.

Рйс. 4.18. Стоимость подержанного авто — регрессия 1

2. Цена автомобиля зависит от возраста линейно (а+bх — см. первый график на рис. 4.19). Никакой другой более сложной зависимости из точек, разбросанных на соответствующем графике, выудить невозможно. В нашем случае после каждого года пробега с цены машины нужно будет скидывать в среднем по 393 доллара (значение коэффициента b). Для решения этой задачи можно было бы привлечь функцию regress, работа которой была показана выше на рис. 4.14, но для "линейного" случая в Mathcad предусмотрена "одноименная" функция line, возвращающая вектор значений коэффициентов а и b аппроксимирующей линейной функции а+bх.

Рис. 4.19. Стоимость подержанного авто — регрессия 2

3. Зависимость цены автомобиля от пробега (см. второй график на рис. 4.19) более сложная — она меняется экспоненциально: а • е^bx+с. При такой зависимости (b<0) цена машины никогда не упадет до нуля, чего не скажешь о зависимости цены от возраста (первый график на рис. 4.19), когда в районе 14—15 лет автомобиль становится "бесценен" в двух смыслах — у него нулевая цена (наш смысл) либо автомобиль становится музейным экспонатом.

Рис. 4.20. Стоимость подержанного авто — регрессия 3

Для поиска коэффициентов экспоненциальной функции вызывается другая встроенная функция из группы Curve Fitting and Smoothing (Подбор кривых и сглаживание) — Mathcad-функция expf it (от англ. ехр— экспоненциальное и fit— fitting— сглаживание), которая отличается от функции line в том числе и тем, что требует для своей работы первого приближения к искомым коэффициентам а, ь и с. В Mathcad встроены и другие подобные функции для решения аппроксимирующих задач, и мы перечислили их ранее (см. рис. 4.11).

Переход от плоскости (рис. 4.18 и 4.19) к объему (рис. 4.20) дает следующую регрессионную формулу13, по которой можно рассчитать остаточную цену автомобиля (% от цены нового14):

44.98+2.98 Возраст+55.02 •10^(-0.00000937)Прбег

где Возраст выражен в годах, а пробег-— в километрах.

Для поиска коэффициентов сглаживающей функции уже двух аргументов (рис. 4.20) была задействована универсальная методика оптимизации с использованием встроенной в Mathcad функции Minimize (см. главу 3), возвращающей значение переменных а, ь, с и d аппроксимирующей функции, при которой целевая функция с именем ско (среднее квадратичное отклонение точек от поверхности) минимальна. На рис. 4.20 построена поверхность с роящимися вокруг нее точками. Но более наглядно графическая зависимость цены машины от пробега и возраста отображается семейством кривых, которую мы уже продемонстрировали на рис. 1.78.