Задача об оптимальных перевозках

Основное преимущество функций Minimize и Maximize по сравнению с "древней" функцией MinErr (см. табл. 2.1) не только и не столько в том, что нет необходимости знания примерного значения минимума или максимума, но и в том, что функции Minimize и Maximize могут решать такие оптимизационные, где суть не в самой оптимизируемой (целевой) функции (она может быть простой — линейной, например), а в ограничениях.

Рис. 3.15. Транспортная задача

На рис. 3.15 показано решение так называемой транспортной задачи: необходимо ежедневно с первой шахты перевозить на две электростанции 50 тонн угля, а со второй шахты — 70 тонн. При этом первая электростанция сжигает в сутки 40 тонн угля, а вторая — 80 (50 + 70 - 40) — работа ведется "с колес", т. е. уголь ни на шахтах, ни на электростанциях не складируется. Тут получается система линейных алгебраических уравнений, которую мы уже подробно решали в главе 2, но не с одним, а с множеством решений, одно из которых минимизирует целевую функцию— затраты на перевозки. А они известны (заданы): 40 долларов за тонну при перевозке угля с первой шахты на первую электростанцию, 1600 руб. за тонну при перевозке угля с первой шахты на вторую электростанцию и т. д. (см. функцию сп на рис. 3.15).

Спрашивается, как нужно организовать перевозки (найти значения переменных ш1т1, ш1т2, ш2т1 и ш2т2), чтобы транспортные расходы были минимальны и выполнялись ограничения-равенства. На рис. 3.15 дан ответ. Парадокс задачи в том, что по самому дешевому маршруту (со второй шахты на первую электростанцию — 800 руб/т) ничего не возится (ш2т1=0).

Другой парадокс в том, что эта задача при даже минимальном ее анализе позволяет уменьшить число переменных с четырех до трех и даже двух. Но мы опять же (сравним решение задачи о подвесном баке самолета на рис. 3.12) решаем задачу "в лоб". Дело в том, что тут можно "дооптимизироваться" и решить задачу совсем без компьютера, приняв, что все нагрузки ложатся на самый дешевый маршрут (вторая шахта— первая электростанция, см. выше) и... неправильно решить задачу— максимизировать, а не минимизировать затраты на перевозки.